什么是質數和合數（詳解質數和合數）

一．概念描述

現代數學：一個大于1的整數，如果除1和它本身以外，沒有其他的約數，這樣的數就叫作質數，也叫素數。一個大于1的整數，如果除了1和它本身以外，還有其他的約數，這樣的數就叫作合數。

小學數學：2004年北京版教材第10冊第56頁提出：一個數除了1和它本身，不再有別的約數，這個數叫作質數（也叫作素數）?！獋€數除了1和它本身，還有別的約數，這個數叫作合數。

2013年人教版教材五年級下冊第23頁提出：一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫作質數（或素數）。一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，這樣的數叫作合數。

二．概念解讀

①由質數和合數的概念可以知道，在非0的自然數中，1既不是質數也不是合數。歷史上曾將1也包含在質數之內，但后來為了算術基本定理，最終1被數學家排除在質數之外。在小學階段，學生學習質數和合數，是為后面學習求最大公因數、最小公倍數以及約分、通分打下基礎。

②在數論中，質數有著重要的地位，一直吸引著許多數學家們不斷去探索。2500年前，古希臘數學家歐幾里得證明了質數的個數是無限的，并提出少量質數可寫成“2的n次方減1”的形式---這里n也是一個質數。此后，許多數學家曾對這種質數進行研究。17世紀的法國教士梅森是其中成果較為卓著的一位，因此后人將“2的n次方減1”形式的質數稱為梅森質數。

由于梅森質數有許多獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家，如歐幾里得、費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等和無數的業余數學愛好者對它進行研究和探尋。目前，人類僅發現 47個梅森質數。其中最大的質數是第46個梅森質數“2的^{43112609次方}-1”，該質數有12978189位。如果用常用的二號字將這個巨數連續寫下來，其長度可超過50千米！是否有無窮多個梅森質數是數論中未解決的難題之一。由于這種質數珍奇而迷人，因此被人們譽為“數海明珠”。

特別值得一提的是，我國數學家和語言學家周海中于1992年首先給出了梅森質數分布的準確表達式，從而揭示了梅森質數的重要規律，為人們探尋梅森質數提供了方便。后來這一成果被學術界命名為“周氏猜測”。

梅森質數在當代具有十分豐富的理論意義和實用價值。它是發現已知最大質數的最有效途徑。它的探究推動了數學皇后---數論的研究，促進了計算技術，程序設計技術，網絡技術，密碼技術的發展以及快速傅里葉變換的應用。

由于探尋梅森質數需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為：梅森質數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國頂尖科學家馬克斯·索托伊甚至認為，它是人類智力發展在數學上的一個標志，也是科學發展的里程碑。

③質數的應用。

質數近來被利用在密碼學上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質數，編碼之后傳送給收信人。任何人收到此信息后，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中（實為尋找質數的過程），將會因為找質數的過程過久，使得即使取得佶息也會無意義。

再有，在汽車變速箱齒輪的設計上，相鄰的兩個齒輪齒數最好設計成質數，目的是增加兩齒輪內兩個相同的齒相遇嚙合次數的最小公倍數，這樣可增強耐用度，減少故障。

另外，在害蟲的生物生長周期與殺蟲劑使用次數之間的關系上，殺蟲劑的質數次數的使用效果最好也得到了證明。實驗表明，質數次數地使用殺蟲劑是最合理的：都是在害蟲繁殖的高潮期使用，而且害蟲很難產生抗藥性。

在軍事上，以質數形式無規律變化的導彈和魚雷可以使敵人不易攔截。

④有趣的質數。

a．孿生質數。

孿生質數指的是間隔為2的相鄰質數，它們之間的距離已經近得不能再近了，就像孿生兄弟一樣。

最小的孿生質數是(3,5)，在100以內的孿生質數還有(5,7),(11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61)和(71,73)，總計有8組。

截至2009年年底，人們發現的晟大的孿生質數是：2003663613·2的^196000次方±1，這一對質數都長達100355位。

b幸運質數。

幸運質數是既是質數又是幸運數的數。幸運數是1955年波蘭數學家烏拉姆提出的，經由類似埃拉托斯特尼篩法（一種用刪去法檢定質數的算法）的算法后留下的整數集合，具體包括：1、3、7、9、13、15、21、25、31、33、37、43、49、51、63、67、69、73、75、79、87、93、99---1000以內的幸運質數為：3，7，1 3，31，37，43，67，73，79，127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349, 367,409, 421, 433, 463, 487, 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673,727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997。

c．回文質數。

回文質數是既是質數義是回文數的整數，像11，101，131，151，181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929等。

目前還不知道在十進制中是否有無窮多個回文質數。已知最大的回文質數為10的^180004次方+ 248797842x10的^89998次方+1，是2007年由都伯納發現的。

下面是回文數組成的金字塔：

2

30203

133020331

1713302033171

12171330203317121

151217133020331712151

1815121713302033171215181

16181512171330203317121518161

331618151217133020331712151816133

93331 61 8151 21713302033171215181613339

11933316181512171330203 317121518161333911

在這個金字塔上，下面每一個質數都是在上面質數的基礎上，前面和后面加兩位數。四。教學建議

①教師在教學質數和合數時，可以先讓學生找出1-20各數的因數，然后引導學生觀察，并試著將這20個數進行分類，在分類的基礎上，引出質數和合數的概念。也可以借助小正方形，讓學生拼一拼，當個數分別為1-20各數時，每個數能拼出幾種不同的長方形。然后引導學生觀察思考：為什么有的個數能拼出幾種，有的只能拼出一種，還有的無法拼？從而使學生認識到與每個數的因數的個數有關，揭示出質數和合數的概念。

學生認識了質數和合數后，教師可以引導學生利用篩法找出100以內的質數，并找出最小的質數是幾，最小的合數是幾。

②學生在解決問題時，容易把質數和奇數、合數與偶數混同起來，因此要結合質數表，引導學生思考：是不是所有的質數都是奇數？所有的奇數都是質數？所有的偶數都是合數？